Fisica IV Anno Materie

Legge di Gauss, Conduttori e Condensatori

Calcolare il campo generato da una distribuzione qualsiasi di carica può essere molto laborioso, anche se da un punto di vista concettuale è semplice. Infatti basta suddividere le cariche sorgenti in piccoli elementi e calcolare il campo risultante dalla sovrapposizione degli effetti. Tale esemplificazione è sempre possibile in condizioni statiche.

Il teorema di Gauss afferma che il flusso del vettore campo elettrico “E” attraverso una qualunque superficie chiusa superficie “S” è uguale al rapporto fra la somma algebrica delle cariche racchiuse all’interno della superficie Qtotale e la costante dielettrica del vuoto:

 

 

 

Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo tale che, esistendo sorgenti puntiformi del campo stesso, abbia una dipendenza in modulo proporzionale all’inverso del quadrato della distanza. Il teorema di Gauss può essere applicato al campo gravitazionale.

Per somma algebrica s’intende che se all’interno della superficie la carica totale è nulla, il flusso è nullo. Se la somma delle cariche è positiva, il flusso è positivo, se la somma delle cariche è negativa, il flusso è negativo.


I Conduttori

Si definisce conduttore un corpo entro il quale siano presenti delle cariche elettriche libere di muoversi (al suo interno e sulla sua superficie). Come sappiamo tutti i corpi sono costituiti da particelle cariche (i nuclei degli atomi e gli elettroni di carica eguale ed opposta), tuttavia la gran parte di queste particelle non è libera di muoversi su distanze macroscopiche, ma occupa posizioni fisse all’interno degli atomi o nelle molecole che essi costituiscono. Nei metalli sappiamo dalle conoscenze microscopiche che gli elettroni più esterni degli atomi, quelli che determinano la valenza dei vari elementi, sono liberi di muoversi. Questo comporta che vi è un numero grandissimo di elettroni liberi, vincolati solo dalla superficie esterna del conduttore. Supponiamo di introdurre un conduttore in una regione di spazio nel quale è presente un campo elettrico. In tal caso, ognuna delle cariche libere del conduttore sentirà il campo elettrico e di conseguenza tenderà a spostarsi sulla superficie del conduttore stesso fino a determinare una condizione di equilibrio.

Il campo elettrico all’interno di un conduttore è quindi sempre nullo in tutte le condizioni elettrostatiche, cioè quando le cariche, comunque presenti, sono in una posizioni fissa nello spazio. Se non fosse nullo il campo elettrico, allora all’interno del conduttore gli elettroni liberi sarebbero soggetti alla forza elettrica e quindi si muoverebbero sotto la sua azione. Chiaramente questo è in contraddizione con l’ipotesi di staticità.

Notiamo inoltre che il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore deve essere perpendicolare alla superficie: non vi possono essere componenti tangenziali. Se vi fossero tali componenti, allora gli elettroni si muoverebbero lungo la superficie del conduttore violando ancora la condizione di staticità.

Il Teorema di Coulomb derivabile dalla legge di Gauss mette in relazione il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore con la densità di carica superficiale σ.

Consideriamo un conduttore, come nella figura a fianco, ed un cilindro retto di base infinitesima SB, parallela alla superficie del conduttore e di superficie laterale SL di altezza infinitesima. A causa della costruzione geometrica, il flusso del campo elettrico sarà nullo attraverso la superficie laterale di tale cilindro infinitesimo in quanto il campo elettrico nelle immediate vicinanze del conduttore non ha componenti tangenziali. Anche per quanto la base interna al conduttore il flusso è nullo in quanto il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo. Quindi l’unica parte del flusso totale diversa da zero sarà attraverso la base SB esterna al conduttore. Quindi detta En, la componente normale alla superficie (l’unica diversa da zero) del campo, il teorema di Gauss in questo caso si riduce a :


Induzione Elettrostatica

A causa del fatto che in un conduttore, in condizioni elettrostatiche, il campo elettrico nel suo interno sia nullo e che esistono cariche elettriche positive e negative, si ha questo fenomeno che consiste nella ridistribuzione sulla superficie di un conduttore delle cariche (positive e negative) per annullare il campo nel suo interno. Quindi, in particolare, se pongo un oggetto carico nelle vicinanze di un conduttore, sulla superficie affacciata del conduttore al corpo carico si posizioneranno delle cariche di segno opposto in maniera da neutralizzare il campo all’interno del conduttore.

La neutralità del conduttore e la conservazione della carica rendono necessario il fatto che una carica eguale a quella esterna, che ha indotto la ridistribuzione delle cariche, si distribuisca sulla superficie lontana dal corpo inducente. Tale carica sarà esattamente eguale alla carica indotta sulla superficie vicina. Il fenomeno dell’induzione elettrostatica è tanto più forte quanto i conduttori sono vicini ad oggetti carichi.


Capacità Elettrica

Chiamiamo la differenza di potenziale (d.d.p.) tra i due conduttori. A causa del principio di sovrapposizione degli effetti, se moltiplichiamo per n la carica di ciascuno dei conduttori, anche la d.d.p. aumenterà della stessa quantità.

Questo vuol dire che una volta fissate le condizioni geometriche del sistema, la d.d.p. è direttamente proporzionale alla carica (in valore assoluto) sulle due armature con cariche eguali presenti nel sistema. Quindi possiamo definire la costante di proporzionalità tra carica e d.d.p. come C che è detta capacità del condensatore:

 


Condensatore Piano

La figura a fianco mostra il più elementare dei condensatori, il condensatore piano. In questo caso le armature sono due superfici piane parallele di area S separate da una distanza d(piccola rispetto alle dimensioni laterali delle armature).

Se poniamo una carica +Q sull’armatura superiore e -Q su quella inferiore, a causa dell’induzione elettrostatica completa (in quanto d  è piccola), le cariche si disporranno con buona approssimazione uniformemente sulla sola parte interna delle armature. Per cui il campo esterno è praticamente nullo, mentre quello interno è uniforme e diretto come indicato in figura, esso vale in modulo:

Quindi la d.d.p. tra le armature vale semplicemente:

Quindi dalla definizione di capacità, un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità di:


Condensatori in Serie

La figura mostra n condensatori posti in serie. Calcoliamo la capacità equivalente di tale sistema.

Immaginando di avere posto una carica +Q e -Q sulle armature estreme dei condensatori. A causa dell’induzione elettrostatica sulle armature opposte di ogni condensatore si deve formare una carica eguale e contraria.

Ma poiché la carica totale nel contatto tra la II armatura del condensatore 1 e la I del condensatore 2 deve essere nulla (in caso contrario si violerebbe il principio di conservazione della carica) sulla I armatura del condensatore 2 si deve avere una carica +Q e di seguito nella stessa maniera per i vari elementi della serie (applicando sia l’induzione elettrostatica che la conservazione della carica). In questo caso la stessa carica (in modulo) si ha su tutte le armature dei condensatori, mentre la d.d.p. ai capi dei singoli condensatori è diversa:

 


Condensatori in Parallelo

La figura seguente mostra condensatori in parallelo. Calcoliamo la capacità equivalente.

Equivalente significa che possiamo a tutti gli effetti sostituire agli n condensatori un condensatore Ce indistinguibile ai fini delle proprietà

elettriche degli n condensatori. La differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore sarà la stessa V (in quanto le varie armature costituiscono un unico conduttore semplicemente connesso), come mostrato in figura, mentre le cariche sulle armature dei singoli condensatori saranno dipendenti dalla capacità del condensatore stesso:

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