Matematica Materie V Anno

I Limiti

Prima di andare a spiegare cosa sono i limiti è importante precisare la definizione di intorno di un punto.

Definizione di intorno di un punto: Preso un punto x0 su una retta. Si definisce intorno di centro x0 e raggio l, (e si indica con I(x0, l), l’intervallo sulla retta (x0 − l, x0 + l) .

 

Esempi . L’intorno I(5, 1) è l’intervallo (5 − 1; 5 + 1) cioè (4, 6).

L’intorno I(−2, 1 4 ) è l’intervallo (−2 − 1/4 ; −2 + 1/4 ) cioè (− 9/4 , − 7/4 ).

 

Definizione di limite: Con la notazione: 

che si legge “il limite per x tendente a x0 di f(x) è uguale a L”;

si intende che:

1. fissato sull’asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio piccolo a piacere (chiamiamo questo numero piccolo a piacere ε lettera greca che si legge epsilon).

2. esiste sull’asse x un intorno di x0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno, f(x) ∈ I(L, ε).

In parole più semplici, ma anche meno precise, ciò significa che il valore della funzione si avvicina “quanto vogliamo” a L, a patto che si scelga x “sufficientemente vicino” a x0.

Per verificare un limite, operazione in molti casi abbastanza complicata, si procede nel modo seguente:

• si imposta il sistema di disequazioni: 

In questo modo f(x) appartiene all’intorno I(L, ε)

• si risolve il sistema di disequazioni

• se la soluzione è un intorno di x0 abbiamo verificato il limite.

Esempio

Verificare il limite:

Osserviamo che tale limite deriva dal caso generale ponendo L = 5, f(x) = 2x − 1, x0 = 3. Impostiamo il sistema di disequazioni:

Per determinare la soluzione del sistema usiamo il grafico in basso che fornisce la soluzione:


Il calcolo di un limite

Adesso ci occupiamo del calcolo di un limite, cioè di determinare L (e nella maggior parte dei casi `e un compito più facile della verifica). Procederemo per casi.

Teorema: Se x0 appartiene al dominio di una funzione e la funzione è continua in x = x0, allora vale:

 

Esempio: Calcolare il limite:

Sappiamo che tale funzione è continua che il suo dominio è: D = {x ∈ R}

Quindi 3 appartiene al suo dominio.

Sostituiamo nella f(x), in questo caso 2x − 1, ad x il valore di x0, in questo caso 3:

2 · 3 − 1 = 6 − 1 = 5

quindi


 Come calcoliamo il limite se il punto non appartiene al dominio?

Quando diciamo che x tende ad x0, si intende che x, muovendosi sulla retta, si “avvicina” sempre di più, al punto “fermo” x0. Tale avvicinamento può verificarsi in due modi, o da destra, quindi per valori di x maggiori di x0, o da sinistra, quindi per valori di x minori di x

 

Può accadere che il limite sia diverso a seconda se x tende a x0 da destra o da sinistra.

Per questo sono stati definiti l’intorno destro e intorno sinistro di un punto:

Definizione di intorno destro di un punto: Preso un punto x0 su una retta. Si definisce intorno destro di centro x0 e raggio l, (e si indica con ID(x0, l)), l’intervallo sulla retta (x0, x0 + l) .

Definizione di intorno sinistro di un punto:Preso un punto x0 su una retta. Si definisce intorno sinistro di centro x0 e raggio l, (e si indica con IS(x0, l)), l’intervallo sulla retta (x0 − l, x0) .

Possiamo quindi definire il limite destro e il limite sinistro di una funzione:

Definizione di limite destro. Con la notazione:

si intende che:

1. fissato sull’asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio epsilon.

2. esiste sull’asse x un intorno destro di x0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno, f(x) ∈ I(L, ε).

 

Definizione di limite sinistro. Con la notazione:

si intende che:

1. fissato sull’asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio epsilon.

2. esiste sull’asse x un intorno sinistro di x0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno, f(x) ∈ I(L, ε).


Limiti Tendenti a più o meno infinito

Quella che stiamo per trattare fa parte della cosiddetta “Algebra degli Infiniti”.

Per comprendere e meglio ricordare le seguenti uguaglianze, si pensi ad un numero positivo enormemente grande quando compare il simbolo +∞, e ad un numero negativo enormemente grande quando compare il simbolo −∞:

• +∞ + ∞ = +∞ (la somma di due numeri positivi enormemente grandi è ancora un numero positivo enormemente grande).

−∞ − ∞ = −∞ (la somma di due numeri negativi enormemente grandi è ancora un numero negativo enormemente grande).

• ±∞ ·(±∞) = ±∞ vuol dire che “infinito per infinito ha sempre come risultato infinito” ed il segno del prodotto deriva dalla consueta regola dei segni della moltiplicazione.

• k · (±∞) = ±∞ vuol dire che il prodotto di un numero (positivo o negativo) per infinito è sempre infinito ed il segno del prodotto deriva dalla consueta regola dei segni della moltiplicazione.

• √n +∞ = +∞ (la radice di un numero enormemente grande, è ancora un numero enormemente grande) √n −∞ = −∞ solo se n è un numero dispari. Se l’indice della radice è un numero pari, √n −∞ non esiste. • k ±∞ = 0 a prescindere dal segno di k e dal segno di infinito.

Esempi


Le forme indeterminate

Le forme indeterminate che tratteremo sono:

• +∞ − ∞

• ∞/∞

• 0/0

Caso +∞ − ∞: si differenzia dai casi +∞ + ∞ e −∞ − ∞, in quanto si tratta di una somma di infiniti aventi segno diverso. In questo caso, per calcolare il limite, bisogna capire qual’è “l’infinito più grande” (forma impropria per dire l’infinito di ordine maggiore). Affrontiamo la questione tramite il seguente:

Esempio

Principio dei limiti per x tendente a ±∞. In una somma di infiniti, l’infinito di ordine maggiore è quello che ha il grado (esponente) maggiore. Il limite è equivalente ad un limite in cui compare solo il termine di grado maggiore. Quindi tornando al precedente esempio, x2 ha grado maggiore e quindi:

 

Caso ∞/∞: bisogna stabilire se l’infinito di ordine maggiore è al denominatore, oppure al numeratore. Vediamo come affrontare questi limiti tramite degli esempi: . Calcolare il seguente limite:

Il termine di grado maggiore del numeratore è 2x2 , mentre quello del denominatore è 5x 3 . Per cui il precedente limite è equivalente al seguente:

 

Caso 0/0 : Il caso 0/0 si manifesta quando abbiamo un limite con x tendente ad un punto x0 (e quindi non a ±∞), che annulla sia il numeratore che il denominatore, come nel seguente:

Esempio . Calcolare il limite:

Determiniamo il dominio, ponendo il denominatore uguale a zero:

Quindi il dominio risulta D = {x ∈ R|x 6= 2 ∧ x 6= 5}: da ciò deriva anche che, sostituendo alla x il valore 5 il denominatore diventa uguale a zero.

Inoltre, sostituendo alla x il valore 5 anche il numeratore diventa uguale a zero, e quindi siamo nel caso 0 0 . Questi casi si affrontano scomponendo chi, fra numeratore, denominatore o tutti e due, ha grado maggiore di uno.

Generalmente per scomporre si usa:

• l’equazioni di secondo grado, o la tecnica “somma prodotto” se il polinomio ha grado 2;

• Metodo di Ruffini se il polinomio ha grado maggiore di 2.

In questo caso solo il denominatore ha grado maggiore di 1 e quindi va scomposto. Dal momento che abbiamo risolto l’equazione di secondo grado sappiamo che:

 

>Esercizi sui limiti<

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