IV Anno Matematica Materie

I Logaritmi

Richiami…

Potenza con esponente intero

La potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta: se devo moltiplicare 5 sette volte, invece di scrivere 5·5·5·5·5·5·5 è più comodo scrivere 57 quindi 57 = 5·5·5·5·5·5·5.

Il 5 si chiama base, il 7 si chiama esponente e 57 si chiama potenza.

In generale: Si definisce potenza ennesima del numero a e si indica con la simbologia a n il prodotto di n fattori tutti uguali ad a. I numeri a ed n si dicono rispettivamente base ed esponente della potenza a n .

Proprietà delle potenze

-il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale ad una potenza che ha come base la stessa base e come esponente

la somma degli esponenti: a n a m = a n+m ad esempio 35 3 2 = 35+2 = 38 e viceversa

-il prodotto di due potenza con lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come

esponente lo stesso esponente: a n b n = (ab) n ad esempio 25 3 5 = (2·3)5 = 65

-il quoziente tra due potenze con la stessa base è uguale ad una potenza che ha come base la stessa base e come esponente

la differenza degli esponenti: a n : a m = a n-m ad esempio 45 : 42 = 45-2 = 43

-il quoziente tra due potenze con lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha come base

il rapporto tra le due basi e come esponente lo stesso esponente: a n : b n = (a : b) n ad esempio 65 : 35 = (6 : 3)5 = 25

-la potenza di una potenza è ancora una potenza che ha come base la stessa base e come esponente

il prodotto degli esponenti: (a n ) m = (a) nm ad esempio (25 ) 3 = 25·3 = 215


I Logaritmi

Consideriamo l’uguaglianza 23 = 8, in essa ci sono tre elementi: 2, 3 e 8.

Se non conosco 8 allora l’uguaglianza diventa 23 = x.

Il calcolo che risolve questa equazione è l’elevamento a potenza x = 2 3 . Se non conosco 2 allora l’uguaglianza diventa x 3 = 8. Per risolvere questa equazione devo usare l’operazione di estrazione di radice cubica di 8 . Se non conosco 3 allora l’uguaglianza diventa 2x = 8.

Per risolvere questa equazione devo trovare l’esponente da dare a 2 per ottenere 8, questa è l’operazione di logaritmo. Si scrive x = log2 8 e si legge logaritmo in base 2 di 8.

In generale: Si dice logaritmo in base a (a > 0, a ≠ 1) del numero b (b > 0) l’esponente che si deve alla base a per ottenere l’argomento b:

Esempi

I logaritmi decimali (o di Briggs o volgari) hanno per base il numero 10, da cui il loro nome, e si indicano con log x (si omette la base).

I logaritmi naturali (o neperiani o di Nepero) hanno per base la costante numerica e (costante di Nepero o numero di Eulero) e si indicano con ln x.

Proprietà dei Logaritmi

-il logaritmo del prodotto di fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:

-il logaritmo di un quoziente di numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:

-il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:

-il logaritmo in base a di un numero b è uguale al rapporto tra il logaritmo del numero b in un’altra base c e il logaritmo della base a nella base c:

Esercizi sui Logaritmi

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