Matematica Materie V Anno

Le Equazioni Differenziali

Più  in generale un’equazione differenziale è un’equazione dove compaiono la funzione incognita y(x) assieme ad alcune sue derivate. L’ordine massimo di derivazione dell’incognita y(x) individua l’ordine dell’equazione differenziale. L’equazione y ‘ (x) = 2x è del primo ordine.

y’0 = g(x),

che è risolta grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale, ogni soluzione è data da

y(x) =y0 + G(x), con G primitiva di g e y0 costante, ovvero
G(x) = ∫g(t) dt y(x) = y0 + G(x).

Le equazioni differenziali sono di grande importanza perché costituiscono la spina dorsale su cui si basa buona parte della matematica e della fisica, in quanto molti processi della vita reale possono essere descritti da un’equazione differenziale.


Vi sono Tre tipi particolari di equazione differenziale:

1) Le equazioni lineari del primo ordine. Hanno forma

y’0 + a(x)y(x)+ b(x) = 0

dove a e b sono funzioni date della variabile x.(Perciò, rispetto alla forma generale: n = 1, e F(x, y) = a(x)y − b(x).) Sono dette ”lineari” perché F
è lineare nella variabile y.

 

 


2) Le equazioni (del prim’ordine) a variabili separabili. Hanno forma

y0 = f(x)g(y)

Operativamente si procede così . Si pone g(y) = 0 e si trovano le soluzioni costanti. Poi, per g(y) ≠ 0, si ha che tutte le altre soluzioni dell’equazione differenziale sono date implicitamente da

Esempio.


 

3)Le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Hanno forma

yn0 + ay’ + by + f(x) = 0

dove a, b ∈ R e f(x) è una funzione, detta talvolta ”termine forzante”. ”Lineari” perché F lo è nelle variabili y e y’, e ”a coefficienti costanti” perché a e b sono delle costanti, anziché delle funzioni di x, come nel caso generale.

Un’equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti ha la seguente forma

 

 

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